Principio de los trabajos virtuales

Principio de los trabajos virtuales

El argumento propuesto por d'Alembert consiste esencialmente en que las coordenadas espaciales de las partículas del sistema cambian imaginariamente en el tiempo. Propuso desplazamientos hipotéticos para poder describir el sistema mediante nuevos medios matemáticos resultantes del tratamiento de estos supuestos.

Consideramos un sistema en equilibrio en el que la fuerza resultante que actúa sobre las partículas es nula. Podemos describirlo así.

Fs = 0 (s = 1,2... N) (1.a)

Según este principio, :

Fs.δrs = 0 (2.a)

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δW ≡ ΣFs(a).δrs ≤ 0 (7.b)

Sólo se considerarán los desplazamientos δ'- geométricamente reversibles. Estas limitaciones tienen como consecuencia que.

ΣFs(a).δ'rs≤0.

Y en sentido contrario.

ΣFs(a). ( -δ'rs) ≤ 0

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Tenemos así una expresión que generaliza el principio del trabajo virtual y que tiene la forma

ΣFs(a).δ'rs = 0(7.c)

Se trata de lo siguiente.

"El trabajo realizado al efectuar un desplazamiento virtual infinitesimal reversible consistente en vincular el sistema fuera del equilibrio es cero".

Es posible formular ecuaciones que contengan los mismos valores numéricos para los grados de libertad y las coordenadas. Esta es la coordenada generalizada qi, y los desplazamientos virtuales δ'rs en cada una de estas direcciones pueden realizarse independientemente. Se puede reducir inmediatamente a la ecuación (7.c).

ΣQi(a)δ'qi = 0 (7.d).

Hasta ahora, sólo se han considerado los sistemas en equilibrio estático. Sin embargo, insertando las ecuaciones del movimiento podemos captar sistemas en movimiento.

Fs = d(ms.vs)/dt (8.a)

Es decir.

Fs - d(ms.vs)/dt = 0 (8.b)

De lo anterior, para cada desplazamiento virtual, obtenemos.

Σs(Fs - d(ms.vs)/dt).δrs = 0 (8.c)

Las fuerzas coercitivas y actuantes están presentes. Por lo tanto, reescribimos la ecuación anterior con tales fuerzas.

ΣsFs(c).δrs + Σs(Fs(a) - d(ms.vs)/dt).δrs = 0

Sin embargo, se puede estimar el desplazamiento admisible de cada eslabón.

Fs(c).δrs ≥ 0

Entonces tenemos.

Σs(Fs(a) - d(ms.vs)/dt) .δrs ≤ 0

Si nos limitamos a los desplazamientos virtuales reversibles, tenemos lo siguiente.

Σs(Fs(a) - d(ms.vs)/dt) .δ'rs = 0

Para que cada desplazamiento virtual sea independiente, las coordenadas del sistema deben transformarse en el sistema de coordenadas generalizado adecuado. La fuerza aplicada Fs(a) es la responsable de realizar el trabajo a lo largo de cada desplazamiento virtual. d(ms.vs)/dt se compone de fuerzas de inercia que pueden simplificarse y expresarse de la siguiente manera.

En resumen, la última ecuación adopta la forma.

Σs(Fs(a) + Is) .δ'rs = 0

El resultado de la suma entre paréntesis es la fuerza efectiva. Así llegamos a la fórmula conocida como principio de D'Alembert.

"El trabajo total realizado por una fuerza efectiva es cero para desplazamientos reversibles infinitesimales, lo que es compatible con los miembros de cualquier sistema dinámico".

El principio del trabajo virtual es el método utilizado en el campo de la estabilidad para calcular las incógnitas de diversas estructuras. Las incógnitas son las fuerzas conjuntas o las fuerzas internas (fuerzas normales, fuerzas cortantes, momentos).

Para entender en qué consiste el principio de los lugares de trabajo virtuales, es importante saber qué se entiende por desplazamiento virtual. El desplazamiento virtual es un desplazamiento supuesto, es decir, un desplazamiento que no existe en la realidad. Estos desplazamientos son infinitos. Además, se producen cerca de puntos fijos llamados polos.

El trabajo virtual puede realizarse de dos maneras.

  • El trabajo es producido por una fuerza sometida a un desplazamiento virtual.
  • Fuerza generada por momentos y pares durante la rotación virtual.

Para que un sistema esté en equilibrio, es condición necesaria y suficiente que la suma del trabajo virtual realizado por todas las fuerzas y pares actuantes sea cero. Por lo tanto, podemos calcular el valor de las incógnitas estableciendo una ecuación con el trabajo virtual de todas las fuerzas y momentos, incluidas las incógnitas, e igualándola a cero.

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Resumen

José

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